Математикт сургах арга зүй

Баатарын Батаа

Математик сэтгэлгээ буюу

        Математикт сургах/суралцах/

       арга зүй

            Математик бол тооцон бодох ухаан юм. Ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн судлагдахуун нь тоо/тоолол/, алгебр/хийсвэрлэл/, геометр/дүрс, хэмжээс/, магадлал, статистик/боломж/ гэсэн үндсэн  4 айтай.

Тоо, тооллын агуулгагүйгээр математикийг, тэр дундаа тооцон бодох үйлийг төсөөлөх боломжгүй.  Нөгөө талаас тоо, тоолол бол орчлон  ертөнцийн өвөрмөц нэгэн шинжийг  хүн оюун бодлоороо хийсвэрлэн ерөнхийлж чадсан гайхамшигт ололт билээ. 

Геометр нь дедукц мөрдөлгөө хийх, визуал сэтгэлгээ/дүрслэл, төсөөлөн бодох үйл/, эвристик сэтгэлгээ, нэмэлт хувиргалт/бүтээлч оролдлого/ хийх чадваруудыг хөгжүүлдэг математикийн чухал агуулгуудын нэг юм. Өгүүлбэрээр өгөгдсөн геометрийн бодлого төсөөлөн бодох чадварыг хөгжүүлэх сайн дасгал болдог.

Хийсвэрлэл нь анализын үр дүнд түшиглэх, ерөнхийлөх ба нэгтгэх үйлдэлийн холимог хэлбэр бөгөөд тодорхой бодит зүйлийн гол гол шинжүүдээр тухайн зүйлийн хийсвэр дүр,  шинэ ойлголтыг  гаргаж ирэх сэтгэхүйн үйлдэл юм. Алгебрын хичээл нь хийсвэрлэлд үндэслэн сэтгэх, адилтгал тэнцүү хувиргалт хийх чадварыг хөгжүүлэх ач тустай.  Алгебр буюу хийсвэрлэх илэрхийллийн нэг ач холбогдол нь адилтгал тэнцүү буюу үнэн зөв хувиргалтуудаар дамжин ач холбогдолтой ерөнхий дүгнэлтэд хүрдэг явдал юм.  Зүй тогтол/давталт/ олно гэдэг ерөнхийлөх сэтгэлгээний нэг хэлбэр мөн. Ахуй амьдралын асуудлыг математик загвар, хэл рүү хөрвүүлнэ гэдэг  өөрөө бодит зүйл дээр хийсвэрлэл/ерөнхийлөх, нэгтгэх/ хийж байгаа хэрэг юм. Амьдралын асуудал Þ Математик дүрслэл  Þ Математик шийдэл, хариу Þ Хэрэглээ. Математик бол хийсвэрлэх сэтгэлгээний хамгийн хүчирхэг аппарат бөгөөд хийсвэрлэлийг ашиглан логиктойгоор тооцон бодох ухаан юм.

Магадлал, статистик нь дунд сургуулийн математикийн хичээлд өмнө нь байгаагүй шинэ ай билээ. Өгөгдөл мэдээлэлд шинжилгээ хийх замаар байгаль ертөнц болоод нийгмийн санамсаргүй үзэгдлүүдийн ерөнхий хууль, зүй тогтлыг таних, тэдгээр үзэгдэх явагдах магадлалыг тооцон бодож сурахад математикийн энэ ай тусална.  

Математикт суралцахын ач холбогдол:

1. Асуудлын ерөнхийлсөн томъёолол , бүдүүвч загварыг гаргах чадвар олгодог
2. Тооцооллын хүчирхэг хэрэгслүүдтэй
3. Үзэл бодлоо эмх цэгцтэйгээр илэрхийлэн бичих чадварт сургадаг
4. Ойлгон ухаарах, мэдлэгтэй байхын ач холбогдлыг мэдрүүлдэг
5. Математикт суралцсанаар шинжлэх ухаанч/онол, судлал, нягтлал/ хандлага сайжирдаг
6.  Математик нь бүх шинжлэх ухааны суурь хэл учраас олон мэргэжлийн суурь агуулга болдог
7. Логиктой сэтгэх,  дедукц мөрдөлгөө гаргах, асуудал шийдэх аргад сургадаг
8. Нотлон харуулах чадварт сургадаг 

Математик сэтгэлгээ үйл ажиллагааг товчилж байдаг юм. Тэгэхээр үйлдэл цөөхөн байх нь аргагүй.

Ч.Эрдэнэ

Математик ер нь юуг, яаж судлах ёстой юм бэ? Багцлах буюу ерөнхийлөн дүгнэх нь математик шийдлийн дээд түвшин юм.  Задлан шинжлэх сэтгэлгээгээр юмсыг төгсгөлгүй задлан бутаргаад байж болно. Гэхдээ энэ нь төөрч, будилахад хүргэж болно. Үүний эсрэгээр сурч мэдсэн, судлан шинжилсэн зүйлсийг багцлан, нэгтгэх үйл хэрэгтэй бөгөөд энэ нь сурч мэдсэнээ эмхлэн цэгцэлэхэд тусална.  Боломж бүрийг нэг бүрчлэн шалгана гэдэг боломжийн тоо их үед төвөгтэй. Ийм нөхцөлд үндсэн зарчмаар нэгтгэх дүгнэлтэд хүрэх нь үр дүнтэй.  Математик бол нэгтгэн дүгнэх хүчирхэг хэрэгсэл мөн. Жишээ нь  n, n+1, n+2 нь  дараалсан 3 тоонуудыг бүгдийг нь нэгтгэн дүрсэлж байгаа илэрхийлэл юм.

Математикийн агуулга- NCTM

Тоо хэмжээ, хамаарал, зүй тогтол, хэлбэр

Агуулгын ай/Strands – Мэдүүлэн ойлгуулах агуулга/:

1. Number – Тоо/Тоолол/
2. Shape, Space – Геометр/Дүрс/
3. Algebra – Алгебр/Хийсвэрлэл/
4. Statistics and probability – Магадлал, статистик/Боломж/

Математик үйл/Эзэмшүүлэх чадвар/

1. Problem solving – Бодлого бодох/хариу, шийд олох, асуудал шийдэх/
2. Reasoning – Сэтгэн бодох/Сэтгэх чадварыг хөгжүүлэх/
3. Connections – Холбох/хэрэглэх/
4. Communication – Харилцах/математик хэлээр бодол санаагаа илэрхийлэх/
5. Representation/Model/ – Мэдээллийг дүрслэн илэрхийлэх
6. Technology – Математикийн агуулгыг эзэмшихэд цахим технологи ашиглах

TIMMS шалгалтын агуулга

            Агуулга/concept, theory/: Number/Тоо/ – Algebra/Хийсвэр/ - Geometry/Дүрс/ – Data and Chance/Боломж/

           Танин мэдэхүйн түвшин/Блумын таксономоос эхтэй/:  Knowing/Мэдэх, ойлгох/ – Applying/Хэрэглэх, бодитоор мэдрэх/ - Reasoning/Бодох-эргэцүүлэх, Сэтгэх/

Алгоритм дагах уу, алгоритм зохиох уу?

        Математикт суралцах хамгийн сайн арга зам бол түүний гоо сайхан хүч чадлыг мэдрүүлэх, сэтгэж бодон хариунд хүрэхийн таашаалыг амтлуулахад оршино. Хүүхдийн олж авсан шинэ мэдлэг, хуримтлуулсан туршлагад  тулгуурлах, бодлогын хүндрэлийн зэргийг түүний ойрын хөгжлийн бүсэд байхаар сонгох,  нэг нь нөгөөгөөсөө мөрдөж гарч байхаар бодлогуудын уялдаа холбоог сонгох нь түүнийг математикийн гоо сайханд дурлуулах зөв арга зам мөн.

Математикийн уламжлалт сургалт нь зүүн тархины үйл болох логик мөрдөлгөө гаргах, алгоритм буюу тогтсон үйлдлийн дарааллыг ашиглан шийдэлд хүрэх арга зүйг түлхүү ашиглаж ирсэн бөгөөд харин эдүгээ сурганы арга зүйд баруун тархины үйл болох дүрслэн төсөөлөх үйл, бүтээлч  оролдлого хийлгэх арга хэрэгслүүдийг нэвтрүүлэх шинэ зорилт бий болоод байна. 

Математик чадвар = Онол/Ойлголт/ + Сэтгэх чадвар + Арга хэрэгсэл + Сурах чадвар

Задлан шинжлэх үйл нь өнөөгийн математик боловсролд дедукцээр мөрдөлгөө гаргах, батлагдсан зүйлийг ашиглах, асуудлыг алгоритмаар өгөгдөх аргачлалаар шийдэх байдлаар л хэрэглэгдэж байна. Үүний эсрэгээр нэгтгэн дүгнэх буюу шинэ дүгнэлт, шийдэл, санаачлагийг бий болгох, шинэ баталгааг гаргаж ирэх, шинэ алгоритм зохиох чадварыг хөгжүүлэх хэрэгцээ байна.

Батлагдсаныг ашигладаг биш, шинийг бүтээдэг/өөрсдөө нээлт хийдэг/

байх нь илүү үнэ цэнтэй.

Математик-Бодлогыг бодох 5 алхамт дараалал

Understand/See/-Plan-Do-Check-Reflect 

1.  Бодлого/асуудал/-г ойлгох/Understand the problem/
2.  Төлөвлөгөө зохиох/Make a plan/
3.  Төлөвлөгөөний дагуу хийх/Do the plan/
4.   Гаргасан хариу/шийд/-г шалгах/Check solution/
5.  Юу сурч, мэдсэнээ ухаарах/Reflect/

I алхам: Бодлого/асуудал/-г  ойлгох – Understand/see/ the problem

1. Өгүүлбэрийг анхааралтай унш
2. Үл мэдэгдэгч, олох ёстой зүйлсийг тань
3. Зураг, диаграм зур
4. Өгөгдсөн зүйлсийн хоорондын холбоо, хамаарлуудыг тань
5. Бодлогод өгөгдсөн зүйлсийг өөрийн үгээр илэрхийлж, товч бичлэг хий

 II алхам: Төлөвлөгөө зохиох - Make a plan

1. Сайтар эргэцүүлж, тунгаан бод
2. Асуудлыг шийдэх тохирох арга, стратегийг сонго
3. Хялбаршуулах, зурах, зүй тогтлыг олох, таагаад шалга, загварчлах, эсрэгээс нь бодох, жүжиглэн тоглох ... 

 III алхам: Төлөвлөгөөний дагуу хийх – Do the plan

1. Сонгосон арга, стратегиараа асуудлыг шийдэх буюу бодлогын хариуг олох
2. Хийсэн алхам бүрийнхээ дараа алдаа гаргасан эсэхээ шалга

 IV алхам: Гаргасан шийдээ шалгах – Check solution

1. Бодлогын өгүүлбэрийг дахин унш
2. Олсон шийд чинь бодлогын нөхцөлд тохирч байгаа эсэхийг шалга
3. Хариу үнэн зөв гэдгийг нотлон харуул

 V алхам: Юу сурч мэдсэнээ ухаарах – Reflect

1. Олсон шийд чинь бодлогын нөхцөлтэй тохирохгүй байгаа бол бодолтоо эхнээс нь нэг харж юун дээрээ алдсанаа олж мэд. Дараа тэр алдааг давтахгүй байхад анхаарал хандуул.
2. Ямар арга замаар, яаж бодсоноо олж хар. Бодсон арга замаа өөрийн үгээр тайлбарла.
3. Чи энэ бодлогыг бодсоноор юуг сурч, мэдэв? Цаашид түүнийгээ юунд ашиглах вэ?

Сингапурын математик буюу “Загварт зураглал – Model drawing”

ашиглан өгүүлбэртэй бодлогыг бодох  визуал хандлага

Хүний сэтгэлгээний хөгжил бодит байдал, дүрс, зураглал, цэвэр хийсвэрлэл гэсэн дэс дарааллаар явагдах бөгөөд сингапурын боловсролын систем нь суралцагчийг дараах 3 үе шатад тулгуурлан  математикт суралцах үйлд хөтөлдөг.  

–        Concrete                Бодит

–        Pictorial                 Зургаар илэрхийлсэн  → Model drawing/Бүдүүвч зураглал хийх/

–        Abstract                            Хийсвэр

Хийсвэр гэсэн ухагдахууныг математик сэтгэлгээнд бодит биш гэсэн утгаас нь илүү ерөнхийлөл гэсэн сэтгэхүйн үйлдэл талаас нь ойлгох нь илүү зөв.

Загварт зураглалыг ашиглан өгүүлбэртэй бодлого бодох 8 алхам:

1. Бодлогын өгүүлбэрийг унших

2. /Хэний талаар өгүүлж буйг тодорхойлох

3. Юуны талаар өгүүлж буйг тодорхойлох

4. Өгөгдсөн хэмжээнд тохирох тооны дөрвөлжин зурах

5. Тоог нь цифрээр тавих

6. Олох ёстой зүйлийг асуултын тэмдгээр илэрхийлэх

7. Тооцоололыг гүйцэтгэх

8. Хариуг бүтэн өгүүлбэрээр бичих/1-р ангийнхны хувьд хариуг бичихдээ бэлэн өгөгдсөн шаблоныг нөхөж гүйцээнэ/

Сингапурын “Блок” дүрслэлийн арга нь дараах онцлог давуу талуудтай:

• Өгүүлбэртэй бодлогод товч бичиглэлийг орлоно
• Блок дотор үг бичих боломжтой
• Хэрчмийг бодвол дүрслэн илэрхийлэх боломж нь илүү өргөн
• Дүрслэн илэрхийлсэн зургаа утга санааг нь алдагдуулахгүйгээр хувирган өөрчлөх/зөөх, нэмэлт тайлбар хийх/ боломжтой.

Блок дүрслэлийн аргыг ашиглахдаа Сурагч:

·         Утга  санааг өөртөө болон бусдад ойлгомжтой байхаар дүрслэн илэрхийлэхийг

·         Товч бөгөөд тодорхой бичиглэл хийхийг

хичээх учиртай.

Логик сэтгэлгээний үндсэн нэг арга нь А мэдээллээс мөрдөн гарах Б мэдээллийг олох дедукцлэх сэтгэлгээ юм. Үнэндээ А мэдээлэл нь Б мэдээллийг дотроо агуулж байх бөгөөд хүн эргэцүүлэн бодох замаар түүнийг нь нээн илрүүлэх ёстой.   

Ишлэл , зүүлт:

♣♣♣

 “Японы математик  боловсролын зорилго нь “Хүүхдэд ямар нэг асуудлыг математик загвар ашиглан шийдэх чадвар олгох”-д оршино гэж томьёолсон байдаг байна.

Ямар ч хүүхдэд юмыг “Мэдэх”, тухайн зүйлийн талаар “Эргэцүүлэн бодох”, тухайн зүйлийг “Өөрийн гараар хийж үзэх” гэсэн үндсэн 3 төрлийн сонирхол байдаг. Эдгээр нь зарим тохиолдолд огтлолцож байдаг ба үүнийг Веннийн диаграмаар үзүүлж болно. 1 ба 3 дахь хүсэл хүүхдэд бүүр багаас нь байдаг ажээ.

Эдгээрийн огтлолцолд хүүхдэд ямар чадвар төлөвшиж байдгийг тодорхойлбол:

2 ∩ 3= асуудлыг олох

1 ∩ 2= асуудлын шийдвэр гаргах

1 ∩ 3= өөрөө олж авсан мэдлэг

1 ∩ 2 ∩ 3= идэвхитэй, ололттой суралцах

Эндээс харахад дээрх гурван хүслийг нь дэмжиж ажиллавал хүүхдийн өөрөө идэвхитэй, бүтээлчээр суралцах үйл ажиллагааг нь хөгжүүлэх боломжтой бөгөөд ингэснээр хүүхдийн хөгжилд нөлөөлнө гэсэн үг болж байна.

Сайн хичээлд тавих 4 шалгуур:

1. Хүүхдэд сонирхол төрүүлэх

2. Хүүхэд юу ойлгож, мэдэхээ өөрсдөө ухаарах

3. Хичээл дээр хүүхдээр нээлт хийлгэх

4. Хүүхдэд сэтгэл ханамж төрүүлэх

Японы хүүхэд бүр тооны хичээлд дуртай байдаг. Гэхдээ тоонд дуртай байна гэдэг нь тоо бодож чадна, тоог ойлгож байна гэсэн ойлголттой нь холбоотой байна. Тоогоо бодож чадахгүй болохоор тоонд дургүй болно. Тооны хичээл тэдэнд байнга сонирхолтой, хөгжилтэй байх ёстой. ”

Т.Ганбаатар Н.Лхагвадорж Д.Сэргэлэн М.Энхтуяа, Д.Мөнхбаатар У.Доёд Л.Даваажаргал /БСШУЯ-Жайкагийн хамтарсан төсөл/, Хүүхдээр математикийн хялбар мэдлэг

бүтээлгэх арга зүй, УБ, 2007 он

♣♣♣

            Математикийн агуулга дэндүү өргөн боловч сэтгэлгээний хувьд ердөө л гурван зүйлд багцардаг.

1.      Оруулах, гаргах зарчим – Хэмжээсийг тооцох

2.      Дирихлейн зарчим – Оршин байхыг тодорхойлно

3.      Сонголтыг тоолох – Сонголтын тоо, боломж тоолох

Математик бол тоон хэмжээ, тэр дундаа хэмжээсийг бодож гаргадаг. Хэмжээсийг боддог үндсэн зарчим бол “Оруулах, гаргах” зарчим. Аливаа тооцоо, олонлогийн хэмжээсийг ганцхан энэ зарчмаар тооцоолдог. Тийм юм оршин байна, эсвэл оршихгүй гэдгийг тодорхойлдог нь математикт дирихлейн зарчим байдаг. Оршин байх эсэхийг тодорхойлох нь математикийн амин сүнс.  Дирихлейн зарчмын өргөтгөл нь Рамсейн теорем юм. Сонголтыг тоолох гэдэг нь нэг нэг элементийг сонгох зарчим. Сонголтыг тоолох нь тооллын ялгаатай гишүүдийг сонгон авах боломж байгаа эсэхийг тодорхойлдог. Математик сэтгэлгээний цөм нь ямар обьектийг ямар байдлаар дүрслэх, түүн дээрээ ямар үйлдлүүд хийх/дээрх 3 зарчим/ хоёр байдаг. Хүүхдийн сэтгэлгээг болж өгвөл цөөн бодлогоор, зөвхөн дээрх 3 зарчимд тулгуурлан сургахыг чухалчлах хэрэгтэй/дидактик нэгжийг томсгох/. Өөрөөр хэлбэл бага хэрэглэгдэхүүнээр өндөр зорилгод хүрэхийг хичээх хэрэгтэй.”

Ц.Дашдорж

♣♣♣

            Монголоор дүүрэн асуудал. Та бид яав ч ийм байж таарахгүй гэдгийг мэдээд байх атлаа яаж шийдэхээ мэдэхгүй будилсаар сууна. Тулгарсан асуудлыг шинжлэх ухаанчаар шийдвэрлэсэн улс орон хөгжиж, эс чадсан нь буюу хамаа намаагүй, аль таарсан аргаар шийдвэрлэсэн нь уруудаж, хоцорч байна. ЕБС-д математикийн хичээлээр юуг агуулгаа болгож, зааж сургах ёстой юм бэ? гэдэг дээр бид нэг утгатай хариулт олох ёстой. Сурагчид математик асуудлыг шийдвэрлэхдээ/problem solving/ сэтгэх чадварын олон арга барилыг ашигладаг байх ёстой. Ангилах, харьцуулах, дараалуулах, хэсэг ба бүхлийг шинжлэх, шинж зүй тогтол, харьцааг ойлгох, боловсруулах, индукци, дедукци хийх, ерөнхийлөх, шалгах, нотлох, дүрслэх зэрэг нь сэтгэх чадварууд болно. Эрэмбэтэй сэтгэдэг хүний гарт асуудал шийдэх түлхүүр байдаг. Математик нөхцлийг шинжилж, логик үндэслэл бүтээх чадвар нь эргэцүүлэл/reasoning/ билээ. Математик сэтгэлгээ нь математикийг ялгаатай агуулгаар хэрэглэх оюуны үйл-чадвар буюу сэтгэлгээний зуршил мөн. Математикийн санаа, аргумент/учирлал/-г яв цав, тодорхой, товч бөгөөд логиктой илэрхийлж, түүндээ математик хэлийг ашиглах нь коммуникаци/communication/ юм. Коммуникаци нь сурагчдын тухайд математикийг ойлгох, математик сэтгэлгээг нь бэхжүүлэхэд их хэрэгтэй. Сайн математикчдын эргэцүүлэх бодролын үйл сайн хөгжсөн байдгаас тэд тун ээдрээтэй нөхцөл байдлыг математик хэл рүү хөрвүүлж чаддаг. Уялдуулан холбох үйл/Connection/ нь математикийн санаануудын хоорондох, математик ба бусад салбарын хоорондох, математикчид ба амьдралын хоорондох холбоог танин барьж, уялдуулах чадвар. Үүний ачаар сурагчид математикт яагаад суралцах ёстой, тэр юунд хэрэгтэй гэсэн асуултандаа хариулт олно.

Ц.Дэмбэрэл